다항식 계산기
최대 3차 다항식의 임의 x에 대한 값을 평가하고, 3차 방정식을 포함한 모든 실근 및 허근을 구합니다.
값 및 근
f(x)
-
이용 방법
다항식은 ax³ + bx² + cx + d와 같이 변수가 정수 거듭제곱이고 계수가 상수인 대수식입니다. 이 계산기는 임의의 x에서 다항식을 평가하며, 최고차항 계수가 0일 경우 자동으로 2차 또는 1차 방정식으로 낮추어 값이 0이 되는 모든 x를 풉니다.
- 계수를 입력하세요
a, b, c, d. 낮은 차수의 방정식을 풀려면 해당 계수를 0으로 두세요.
- 평가할 값 선택
f(x)는 실시간으로 업데이트됩니다. f(x) = 0이면 해당 x가 근임을 의미합니다.
- 모든 근 확인
실근, 중근 및 켤레 복소수 쌍이 모두 표시됩니다.
3차 방정식 풀이
2차 방정식 ax² + bx + c = 0의 경우, 근의 공식을 사용하여 근을 직접 구할 수 있습니다.
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
판별식 b² - 4ac는 근의 종류를 결정합니다. 양수이면 두 개의 실근, 0이면 하나의 중근, 음수이면 a ± bi 형태의 켤레 복소수 쌍을 가집니다.
3차 방정식을 위한 카르다노 공식
3차 방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0에는 2차 방정식의 근의 공식처럼 깔끔한 단일 공식이 없지만, 카르다노 방법을 사용하면 단계별로 해를 구할 수 있습니다. 먼저 a로 나눈 후 x = t - b / 3a를 대입하여 제곱항을 제거하고, 결과적으로 얻어진 기약 3차 방정식 t³ + pt + q = 0을 세제곱근을 이용해 풉니다. 실수 계수를 가진 모든 3차 방정식은 적어도 하나의 실근을 가지며, 판별식에 따라 3개의 실근을 갖거나 하나의 실근과 한 쌍의 켤레 복소수 근을 가질 수 있습니다.
값을 대입하여 근 확인
어떤 x에 대해 f(x) = 0이면 정의에 따라 해당 x는 다항식의 근입니다. 값 계산 필드는 해법을 신뢰하기 전에 후보 근을 직접 빠르게 확인하거나, 근에서 벗어난 구간에서 곡선의 거동을 살펴보는 빠른 방법입니다.
자주 묻는 질문
특정 x 값에서 다항식의 값을 어떻게 계산하나요?
표현식에 x를 대입하여 계산하세요. 예를 들어 x³ - 6x² + 11x - 6에서 x = 2를 대입하면 8 - 24 + 22 - 6 = 0이 됩니다. 계산기는 입력하는 동안 f(x)를 자동으로 갱신하므로 특정 값이 근인지 빠르게 확인할 수 있으며, 근일 경우 항상 f(x) = 0이 됩니다.
이 계산기로 3차 방정식의 근을 구할 수 있나요?
네, 가능합니다. a가 0이 아닐 때 이 계산기는 카르다노 방법을 사용하여 완전한 3차 방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0을 풀고, 3개의 실근, 중근인 실근, 또는 하나의 실근과 한 쌍의 켤레 복소수 근 등 모든 3개의 근을 표시합니다. x³ - 6x² + 11x - 6 = 0의 경우 3개의 근은 1, 2, 3입니다.
2차 방정식의 근의 공식은 어떻게 작동하며, 언제 복소수 근이 나오나요?
ax² + bx + c = 0일 때 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a입니다. 판별식 b² - 4ac가 결과를 결정합니다. 양수이면 서로 다른 2개의 실근, 0이면 중근 1개, 음수이면 a ± bi 형태의 켤레 복소수 근 쌍이 됩니다. 이는 음수의 제곱근이 실수가 아니기 때문입니다.
a와 b가 모두 0이면 어떻게 되나요?
a와 b가 모두 0이면 x³ 및 x² 항이 사라지고 cx + d = 0이라는 일차 방정식이 남습니다. 이때 c가 0이 아니면 유일한 근은 x = -d / c입니다. a, b, c가 모두 0이면 방정식은 d = 0으로 축소됩니다. d가 0이면 모든 x가 해가 되며, d가 0이 아니면 이를 만족하는 x는 존재하지 않습니다.
중근 또는 이중근은 무엇을 의미하나요?
중근은 방정식의 근 2개(또는 3개 모두)가 한 점에서 일치하여 곡선이 부호를 바꾸지 않고 0에 접하는 x값입니다. 계산기는 동일한 숫자를 여러 번 나열하는 대신 '이중근' 또는 '삼중근'으로 표시합니다.