이차방정식 계산기

ax² + bx + c = 0에서 a, b, c를 확인한 뒤 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a를 계산하세요. x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)의 경우 판별식은 25 − 24 = 1이므로 x = (5 ± 1)/2가 되어 x = 3과 x = 2를 얻습니다. 검산: (x−3)(x−2) = 0.

판별식 b² − 4ac는 근의 성질을 결정합니다. 판별식이 양수이면 두 개의 서로 다른 실근이 존재하며, 포물선이 x축과 두 번 만납니다. 판별식이 0이면 중근인 하나의 실근이 존재하며, 포물선이 x축에 접합니다. 판별식이 음수이면 두 개의 켤레 복소수 근이 존재하며, 포물선은 x축과 만나지 않습니다.

복소수 근은 판별식 b² − 4ac가 음수일 때 나타납니다. 근은 p ± qi 형태를 가지며, 여기서 i는 −1의 제곱근입니다. x² + x + 1 = 0의 경우 판별식은 1 − 4 = −3이므로 x = −0.5 ± 0.866i가 됩니다. 이러한 근은 항상 켤레 쌍으로 존재합니다.

꼭짓점은 포물선 y = ax² + bx + c의 가장 높거나 낮은 지점입니다. x좌표는 −b/(2a)이며, y좌표는 해당 x값을 방정식에 대입하여 구할 수 있습니다. x² − 5x + 6의 경우 꼭짓점의 x는 5/2 = 2.5이고, y는 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25입니다. 계산기는 꼭짓점과 대칭축을 자동으로 표시합니다.

a = 0이면 방정식은 이차방정식이 아닌 일차방정식 bx + c = 0이 됩니다. 이차방정식의 근의 공식은 2a로 나누기 때문에 a가 0이 아니어야 합니다. 계산기는 a = 0인 경우를 감지하여 "이차방정식 아님"이라고 안내하며, 이 경우에는 일차방정식 풀이가 필요합니다.

두 근 x₁과 x₂를 알면 실근을 갖는 모든 이차방정식은 a(x − x₁)(x − x₂) = 0으로 나타낼 수 있습니다. 두 근이 3과 2인 x² − 5x + 6 = 0의 경우 인수분해 형태는 (x − 3)(x − 2) = 0입니다. 허근은 실수 범위에서 이러한 방식으로 인수분해할 수 없으므로 허근에 대해서는 이 형태가 표시되지 않습니다.