Calculadora de equação do 2º grau

Resolva ax² + bx + c = 0 para raízes reais, repetidas ou complexas, com o discriminante, forma fatorada, vértice e eixo de simetria.

Raízes

Digite os coeficientes

Discriminante (b² − 4ac): -
x₁ (primeira raiz): -
x₂ (segunda raiz): -
Forma fatorada: -
Vértice: -
Eixo de simetria: -

Como funciona

Uma equação do 2º grau é uma equação polinomial de grau 2 na forma ax² + bx + c = 0, resolvida pela fórmula quadrática x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.

Digite a, b e c
De ax² + bx + c = 0. Valores negativos e decimais são aceitos.
Verifique o discriminante
Ele define se as raízes são reais ou complexas.
Leia as raízes
Além da forma fatorada, vértice e eixo de simetria.

A fórmula quadrática

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Esta fórmula fornece as soluções, ou raízes, de qualquer equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, desde que a não seja 0. Para x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6), o discriminante é 25 − 24 = 1, então x = (5 ± 1)/2, resultando em x = 3 e x = 2.

O que o discriminante indica

O discriminante, b² − 4ac, determina a natureza das raízes. Positivo significa duas raízes reais distintas, onde a parábola cruza o eixo x duas vezes. Zero significa uma raiz real repetida, onde a parábola apenas toca o eixo x. Negativo significa duas raízes complexas conjugadas, onde a parábola nunca cruza o eixo x.

Vértice e forma fatorada

O vértice, o ponto mais alto ou mais baixo da parábola y = ax² + bx + c, está em x = −b/2a; substitua esse valor de x na equação para obter a coordenada y. Quando as raízes são reais, a equação também pode ser escrita na forma fatorada como a(x − x₁)(x − x₂) = 0, o que é útil para esboçar onde a parábola cruza o eixo x.

Quando a é 0

Se a for 0, a equação se torna bx + c = 0, uma equação linear, não quadrática. A fórmula quadrática exige a ≠ 0 porque divide por 2a, então a calculadora informa "Não é quadrática" em vez de uma resposta incorreta.

Perguntas frequentes

Como resolver uma equação quadrática usando a fórmula quadrática?

Identifique a, b e c em ax² + bx + c = 0, depois calcule x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Para x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6), o discriminante é 25 − 24 = 1, então x = (5 ± 1)/2, resultando em x = 3 e x = 2. Verificação: (x−3)(x−2) = 0.

O que o discriminante indica sobre uma equação quadrática?

O discriminante b² − 4ac determina a natureza das raízes. Um discriminante positivo resulta em duas raízes reais distintas, onde a parábola cruza o eixo x duas vezes. Zero resulta em uma raiz real repetida, onde a parábola é tangente ao eixo x. Um valor negativo resulta em duas raízes complexas conjugadas, onde a parábola não cruza o eixo x.

O que são raízes complexas e quando elas aparecem?

Raízes complexas aparecem quando o discriminante b² − 4ac é negativo. As raízes assumem a forma p ± qi, onde i é a raiz quadrada de −1. Para x² + x + 1 = 0, o discriminante é 1 − 4 = −3, resultando em x = −0,5 ± 0,866i. Essas raízes sempre vêm em pares conjugados.

O que é o vértice de uma parábola e como ele se relaciona com a equação do segundo grau?

O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola y = ax² + bx + c. Sua coordenada x é −b/(2a), e a coordenada y vem da substituição desse x de volta na equação. Para x² − 5x + 6, o x do vértice é 5/2 = 2,5, e y é 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25. A calculadora mostra o vértice e o eixo de simetria automaticamente.

O que acontece quando a = 0 em uma equação do segundo grau?

Se a = 0, a equação se torna bx + c = 0, uma equação linear, não do segundo grau. A fórmula quadrática exige que a não seja 0 porque divide por 2a. A calculadora detecta a = 0 e informa "Não é quadrática", pois esse caso requer um solucionador linear.

Qual é a forma fatorada de uma equação quadrática com raízes reais?

Uma vez que as raízes x₁ e x₂ são conhecidas, qualquer equação quadrática com raízes reais pode ser escrita como a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Para x² − 5x + 6 = 0 com raízes 3 e 2, a forma fatorada é (x − 3)(x − 2) = 0. Esta forma não é exibida para raízes complexas, pois elas não podem ser fatoradas sobre os números reais dessa maneira.