Resolutor de ecuaciones cuadráticas
Resuelve ax² + bx + c = 0 para raíces reales, repetidas o complejas, con el discriminante, la forma factorizada, el vértice y el eje de simetría.
Raíces
Raíces
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Ingresa los coeficientes
- Discriminante (b² − 4ac)
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- x₁ (primera raíz)
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- x₂ (segunda raíz)
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- Forma factorizada
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- Vértice
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- Eje de simetría
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Cómo funciona
Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2 con la forma ax² + bx + c = 0, que se resuelve mediante la fórmula cuadrática x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
- Ingresa a, b y c
De ax² + bx + c = 0. Se aceptan valores negativos y decimales.
- Revisa el discriminante
Determina si las raíces son reales o complejas.
- Lee las raíces
Además de la forma factorizada, el vértice y el eje de simetría.
La fórmula cuadrática
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Esta fórmula proporciona las soluciones, o raíces, de cualquier ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, siempre que a no sea 0. Para x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6), el discriminante es 25 − 24 = 1, por lo que x = (5 ± 1)/2, dando x = 3 y x = 2.
Lo que indica el discriminante
El discriminante, b² − 4ac, determina la naturaleza de las raíces. Un valor positivo indica dos raíces reales distintas, donde la parábola cruza el eje x dos veces. Cero indica una raíz real repetida, donde la parábola solo toca el eje x. Un valor negativo indica dos raíces complejas conjugadas, donde la parábola nunca cruza el eje x.
Vértice y forma factorizada
El vértice, el punto más alto o más bajo de la parábola y = ax² + bx + c, se encuentra en x = −b/2a; sustituye ese valor de x en la ecuación para obtener la coordenada y. Cuando las raíces son reales, la ecuación también puede escribirse en forma factorizada como a(x − x₁)(x − x₂) = 0, lo cual es útil para bosquejar dónde la parábola cruza el eje x.
Cuando a es 0
Si a es 0, la ecuación se convierte en bx + c = 0, una ecuación lineal, no cuadrática. La fórmula cuadrática requiere que a ≠ 0 porque divide entre 2a, por lo que la calculadora muestra "No es cuadrática" en lugar de un resultado incorrecto.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática?
Identifica a, b y c en ax² + bx + c = 0, luego calcula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Para x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6), el discriminante es 25 − 24 = 1, así que x = (5 ± 1)/2, lo que da x = 3 y x = 2. Comprobación: (x−3)(x−2) = 0.
¿Qué indica el discriminante sobre una ecuación cuadrática?
El discriminante b² − 4ac determina la naturaleza de las raíces. Un discriminante positivo da dos raíces reales distintas, donde la parábola cruza el eje x dos veces. Cero da una raíz real repetida, donde la parábola es tangente al eje x. Un valor negativo da dos raíces complejas conjugadas, donde la parábola no cruza el eje x en absoluto.
¿Qué son las raíces complejas y cuándo aparecen?
Las raíces complejas aparecen cuando el discriminante b² − 4ac es negativo. Las raíces toman la forma p ± qi, donde i es la raíz cuadrada de −1. Para x² + x + 1 = 0, el discriminante es 1 − 4 = −3, lo que da x = −0,5 ± 0,866i. Estas raíces siempre aparecen en pares conjugados.
¿Qué es el vértice de una parábola y cómo se relaciona con la ecuación cuadrática?
El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola y = ax² + bx + c. Su coordenada x es −b/(2a), y la coordenada y se obtiene al sustituir esa x en la ecuación. Para x² − 5x + 6, la x del vértice es 5/2 = 2,5, e y es 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25. La calculadora muestra el vértice y el eje de simetría automáticamente.
¿Qué sucede cuando a = 0 en una ecuación cuadrática?
Si a = 0, la ecuación se convierte en bx + c = 0, una ecuación lineal, no cuadrática. La fórmula cuadrática requiere que a no sea 0 porque divide por 2a. La calculadora detecta a = 0 e informa "No es cuadrática", ya que ese caso requiere un solucionador lineal.
¿Cuál es la forma factorizada de una ecuación cuadrática con raíces reales?
Una vez que se conocen las raíces x₁ y x₂, cualquier ecuación cuadrática con raíces reales puede escribirse como a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Para x² − 5x + 6 = 0 con raíces 3 y 2, la forma factorizada es (x − 3)(x − 2) = 0. Esta forma no se muestra para raíces complejas, ya que no pueden factorizarse sobre los números reales de esta manera.