Calculadora de matrizes
Adicione, subtraia e multiplique matrizes, e encontre o determinante, a transposta ou a inversa de matrizes 2×2, 3×3 ou 4×4.
Resultado
Determinante de A
-
Sem inversa
Uma matriz singular (determinante 0) não possui inversa.
Como funciona
Uma matriz é uma grade retangular de números organizados em linhas e colunas. Esta calculadora funciona com matrizes quadradas, onde o número de linhas é igual ao número de colunas, e suporta adição, subtração, multiplicação, determinante, transposta e inversa.
- Escolha um tamanho
2×2, 3×3 ou 4×4. Ambas as matrizes compartilham o mesmo tamanho.
- Escolha uma operação
A matriz B só aparece para adição, subtração e multiplicação.
- Preencha os números
O resultado é atualizado conforme você digita.
Determinante, transposta e inversa
Para uma matriz 2×2 [[a, b], [c, d]], o determinante é ad - bc. Para um exemplo 2×2 [[1, 2], [3, 4]]: det = (1 × 4) - (2 × 3) = -2. Matrizes maiores se expandem recursivamente ao longo da primeira linha, multiplicando cada entrada pelo determinante da matriz menor restante após remover sua linha e coluna.
det([[a, b], [c, d]]) = ad - bc
A transposta inverte uma matriz em relação à sua diagonal: a linha i, coluna j da transposta é a linha j, coluna i da original. A inversa de A, escrita A⁻¹, é a matriz tal que A × A⁻¹ resulta na matriz identidade (1s na diagonal, 0s nos demais elementos). Ela só existe quando o determinante não é 0, e a calculadora a obtém dividindo a matriz dos cofatores pelo determinante.
A multiplicação de matrizes não é comutativa
Diferentemente dos números comuns, A × B geralmente não é igual a B × A para matrizes. O elemento (i, j) do produto é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B, o que depende da ordem.
O que o determinante indica
Um determinante diferente de zero significa que a matriz é invertível e que o sistema de equações que ela representa tem exatamente uma solução. Um determinante igual a 0 significa que a matriz é singular: ela não possui inversa, e o sistema relacionado não tem solução ou tem infinitas soluções.
Perguntas frequentes
Como a multiplicação de matrizes difere da multiplicação comum?
Na multiplicação de matrizes, o elemento (i, j) do resultado é igual ao produto escalar da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B. Isso significa que A × B geralmente não é igual a B × A. A multiplicação só é definida quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B; para as matrizes quadradas aqui, isso significa apenas que A e B têm o mesmo tamanho.
É possível somar duas matrizes de tamanhos diferentes?
Não. A adição e a subtração de matrizes exigem que ambas tenham exatamente o mesmo tamanho. Você soma os elementos correspondentes: o elemento (i, j) de A + B é igual a A[i][j] + B[i][j]. A calculadora mantém a matriz B automaticamente com o mesmo tamanho da matriz A.
O que é o determinante de uma matriz e o que ele indica?
O determinante é um único número calculado a partir de uma matriz quadrada. Para uma matriz 2×2 [[1, 2], [3, 4]], det = (1 × 4) - (2 × 3) = -2. Um determinante diferente de zero significa que a matriz é invertível. Um determinante igual a 0 significa que a matriz é singular, sem inversa.
O que é a inversa de uma matriz e quando ela não existe?
A inversa de A, escrita como A⁻¹, é a matriz que resulta na matriz identidade quando multiplicada por A. Ela existe apenas quando o determinante não é 0. Se o determinante for 0, a matriz é chamada de singular e a calculadora informa que não existe inversa em vez de dividir por 0.
Quais tamanhos de matriz esta calculadora suporta?
A calculadora suporta matrizes quadradas de tamanho 2×2, 3×3 e 4×4. Adição, subtração, multiplicação, determinante, transposta e inversa estão disponíveis para esses tamanhos; para multiplicação, ambas as matrizes devem ter o mesmo tamanho selecionado.