행렬 계산기

2×2, 3×3 또는 4×4 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 수행하고 행렬식, 전치 행렬 또는 역행렬을 구합니다.

결과

결과를 보려면 행렬 A에 값을 입력하세요.

이용 방법

행렬은 행과 열로 배열된 숫자의 직사각형 격자입니다. 이 계산기는 행의 수와 열의 수가 같은 정사각 행렬을 다루며 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 행렬식, 전치, 역행렬 연산을 지원합니다.

크기 선택
2×2, 3×3 또는 4×4 중 하나를 선택합니다. 두 행렬은 동일한 크기를 공유합니다.
연산 선택
행렬 B는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산에서만 표시됩니다.
숫자 입력
입력하는 동안 결과가 자동으로 업데이트됩니다.

행렬식, 전치 및 역행렬

2×2 행렬 [[a, b], [c, d]]의 행렬식은 ad - bc입니다. 2×2 예시 [[1, 2], [3, 4]]의 경우: det = (1 × 4) - (2 × 3) = -2가 됩니다. 더 큰 행렬은 첫 번째 행을 따라 재귀적으로 전개하며, 각 원소에 해당 행과 열을 제거한 후 남은 작은 행렬의 행렬식을 곱하여 계산합니다.

det([[a, b], [c, d]]) = ad - bc

전치는 행렬을 대각선을 기준으로 뒤집는 연산입니다. 전치 행렬의 i행 j열은 원래 행렬의 j행 i열이 됩니다. A⁻¹로 표기되는 A의 역행렬은 A × A⁻¹가 단위 행렬(대각선 요소는 1, 나머지는 0)이 되는 행렬입니다. 역행렬은 행렬식이 0이 아닐 때만 존재하며, 계산기는 여인수 행렬을 행렬식으로 나누어 이를 산출합니다.

행렬 곱셈의 비가환성

일반적인 수와 달리 행렬에서는 보통 A × B가 B × A와 같지 않습니다. 곱셈 결과의 (i, j) 성분은 A의 i행과 B의 j열의 내적이며, 이는 순서에 따라 달라집니다.

행렬식의 의미

행렬식이 0이 아니면 해당 행렬은 역행렬을 가지며, 이 행렬이 나타내는 연립방정식은 유일한 해를 가집니다. 행렬식이 0이면 행렬은 특이 행렬로 역행렬이 없으며, 관련 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많은 해를 가집니다.

자주 묻는 질문

행렬 곱셈은 일반 곱셈과 어떻게 다른가요?

행렬 곱셈에서 결과의 (i, j) 성분은 행렬 A의 i행과 행렬 B의 j열의 내적과 같습니다. 따라서 일반적으로 A × B는 B × A와 같지 않습니다. 곱셈은 A의 열 수가 B의 행 수와 같을 때만 정의되며, 여기의 정사각 행렬에서는 A와 B의 크기가 동일하면 됩니다.

크기가 다른 두 행렬을 더할 수 있나요?

아닙니다. 행렬의 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 크기가 정확히 동일해야만 가능합니다. 대응하는 원소끼리 더하며, A + B의 (i, j) 원소는 A[i][j] + B[i][j]가 됩니다. 계산기는 행렬 B의 크기를 행렬 A와 자동으로 동일하게 유지합니다.

행렬식이란 무엇이며 어떤 정보를 알려주나요?

행렬식은 정사각 행렬에서 계산되는 단일 수치입니다. 2×2 행렬 [[1, 2], [3, 4]]의 경우 det = (1 × 4) - (2 × 3) = -2가 됩니다. 행렬식이 0이 아니면 해당 행렬에 역행렬이 존재함을 의미합니다. 행렬식이 0이면 행렬은 특이 행렬이며 역행렬이 존재하지 않습니다.

행렬의 역행렬이란 무엇이며 언제 존재하지 않나요?

A⁻¹로 표기되는 A의 역행렬은 A와 곱했을 때 단위행렬이 되는 행렬입니다. 역행렬은 행렬식이 0이 아닐 때만 존재합니다. 행렬식이 0이면 해당 행렬을 특이행렬이라 하며, 계산기는 0으로 나누는 대신 역행렬이 존재하지 않음을 안내합니다.

이 계산기는 어떤 크기의 행렬을 지원하나요?

이 계산기는 2×2, 3×3, 4×4 크기의 정사각행렬을 지원합니다. 이 크기들에서는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 행렬식, 전치행렬, 역행렬 연산이 모두 가능하며, 곱셈의 경우 두 행렬 모두 선택된 동일한 크기여야 합니다.