Calculadora de polinômios
Avalie um polinômio de até grau 3 em qualquer x e encontre todas as raízes, reais ou complexas, incluindo equações cúbicas.
Valor e raízes
f(x)
-
Como funciona
Um polinômio é uma expressão algébrica com variáveis elevadas a potências inteiras e coeficientes constantes, como ax³ + bx² + cx + d. A calculadora o avalia em qualquer x e resolve para todo x onde ele é igual a 0, reduzindo automaticamente para uma equação quadrática ou linear quando um coeficiente principal é 0.
- Digite os coeficientes
a, b, c e d. Deixe um coeficiente em 0 para uma equação de grau menor.
- Escolha um valor para avaliar
f(x) atualiza em tempo real; f(x) = 0 significa que x é uma raiz.
- Leia todas as raízes
Raízes reais, raízes repetidas e pares conjugados complexos são todos exibidos.
Resolvendo uma equação cúbica
Para uma equação quadrática ax² + bx + c = 0, a fórmula quadrática fornece as raízes diretamente:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
O discriminante b² - 4ac determina o tipo de raízes: positivo resulta em duas raízes reais, 0 resulta em uma raiz repetida e negativo resulta em um par conjugado complexo, escrito como a ± bi.
Método de Cardano para equação cúbica
Uma equação cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 não possui uma fórmula única e concisa como a quadrática, mas o método de Cardano a resolve em etapas: divida por a, substitua x = t - b / 3a para remover o termo quadrático e, em seguida, resolva a cúbica reduzida resultante t³ + pt + q = 0 usando raízes cúbicas. Toda cúbica com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real; dependendo do discriminante, ela pode ter três raízes reais ou uma raiz real mais um par conjugado complexo.
Verificando uma raiz por avaliação
Se f(x) = 0 para algum x, esse x é uma raiz do polinômio, por definição. O campo de avaliação é uma maneira rápida de verificar manualmente uma raiz candidata antes de confiar no solucionador, ou para explorar como a curva se comporta fora de suas raízes.
Perguntas frequentes
Como avaliar um polinômio em um valor específico de x?
Substitua x na expressão e calcule. Para x³ - 6x² + 11x - 6 avaliado em x = 2: 8 - 24 + 22 - 6 = 0. A calculadora atualiza f(x) enquanto você digita, o que é uma forma rápida de verificar se um valor é uma raiz: uma raiz sempre resulta em f(x) = 0.
Esta calculadora consegue encontrar as raízes de uma equação cúbica?
Sim. Quando a não é 0, a calculadora resolve a cúbica completa ax³ + bx² + cx + d = 0 usando o método de Cardano e mostra todas as 3 raízes, sejam elas 3 números reais, uma raiz real repetida ou uma raiz real mais um par conjugado complexo. Para x³ - 6x² + 11x - 6 = 0, as 3 raízes são 1, 2 e 3.
Como funciona a fórmula quadrática e quando ela fornece raízes complexas?
Para ax² + bx + c = 0, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. O discriminante b² - 4ac determina o resultado: positivo resulta em 2 raízes reais, 0 resulta em 1 raiz repetida e negativo resulta em um par conjugado complexo escrito como a ± bi, pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
O que acontece se a e b forem ambos 0?
Com a e b ambos iguais a 0, os termos x³ e x² desaparecem e resta cx + d = 0, uma equação linear com a única raiz x = -d / c (quando c não é 0). Se a, b e c forem todos 0, a equação se reduz a d = 0: todo x é solução quando d é 0, e nenhum x funciona quando d não é 0.
O que significa uma raiz repetida ou dupla?
Uma raiz repetida é um valor de x onde a curva toca 0 sem cruzar para o outro sinal, porque 2 (ou todas as 3) raízes da equação coincidem nesse ponto. A calculadora rotula essas como "raiz dupla" ou "raiz tripla" em vez de listar o mesmo número mais de uma vez.