Kalkulator polinomial
Evaluasi polinomial hingga derajat 3 pada nilai x berapa pun, dan temukan setiap akar, real atau kompleks, termasuk persamaan kubik.
Nilai dan akar
f(x)
-
Cara kerja
Polinomial adalah ekspresi aljabar dengan variabel yang dipangkatkan bilangan bulat dan koefisien konstan, seperti ax³ + bx² + cx + d. Kalkulator ini mengevaluasinya pada nilai x berapa pun dan menyelesaikan setiap x saat hasilnya sama dengan 0, secara otomatis beralih ke persamaan kuadrat atau linear jika koefisien utamanya bernilai 0.
- Masukkan koefisien
a, b, c, dan d. Biarkan koefisien bernilai 0 untuk persamaan berderajat lebih rendah.
- Pilih nilai untuk dievaluasi
f(x) diperbarui secara langsung; f(x) = 0 berarti x tersebut adalah akar.
- Baca setiap akar
Akar real, akar kembar, dan pasangan konjugat kompleks semuanya ditampilkan.
Menyelesaikan persamaan kubik
Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, rumus kuadrat memberikan akar secara langsung:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Diskriminan b² - 4ac menentukan jenis akar: positif menghasilkan dua akar real, 0 menghasilkan satu akar kembar, dan negatif menghasilkan pasangan konjugat kompleks, ditulis a ± bi.
Metode Cardano untuk persamaan kubik
Persamaan kubik ax³ + bx² + cx + d = 0 tidak memiliki rumus singkat yang sesederhana rumus kuadrat, namun metode Cardano dapat menyelesaikannya secara bertahap: bagi dengan a, substitusikan x = t - b / 3a untuk menghilangkan suku kuadrat, lalu selesaikan persamaan kubik tereduksi t³ + pt + q = 0 menggunakan akar pangkat tiga. Setiap persamaan kubik dengan koefisien riil memiliki setidaknya satu akar riil; bergantung pada diskriminannya, persamaan tersebut dapat memiliki tiga akar riil atau satu akar riil ditambah sepasang konjugat kompleks.
Memeriksa akar dengan mengevaluasi
Jika f(x) = 0 untuk suatu x, menurut definisi x tersebut adalah akar polinomial. Kolom evaluasi adalah cara cepat untuk memeriksa calon akar secara manual sebelum mengandalkan pemecah, atau untuk mengamati perilaku kurva pada titik selain akarnya.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara mengevaluasi polinomial pada nilai x tertentu?
Substitusikan x ke dalam ekspresi dan hitung hasilnya. Untuk x³ - 6x² + 11x - 6 yang dievaluasi pada x = 2: 8 - 24 + 22 - 6 = 0. Kalkulator memperbarui nilai f(x) saat Anda mengetik, yang merupakan cara cepat untuk memeriksa apakah suatu nilai adalah akar: sebuah akar selalu menghasilkan f(x) = 0.
Dapatkah kalkulator ini mencari akar persamaan kubik?
Ya. Ketika a tidak sama dengan 0, kalkulator menyelesaikan persamaan kubik lengkap ax³ + bx² + cx + d = 0 menggunakan metode Cardano dan menampilkan ketiga akarnya, baik berupa tiga bilangan riil, akar riil ganda, maupun satu akar riil ditambah sepasang konjugat kompleks. Untuk x³ - 6x² + 11x - 6 = 0, ketiga akarnya adalah 1, 2, dan 3.
Bagaimana cara kerja rumus kuadrat dan kapan rumus tersebut menghasilkan akar kompleks?
Untuk ax² + bx + c = 0, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Diskriminan b² - 4ac menentukan hasilnya: nilai positif menghasilkan 2 akar real, 0 menghasilkan 1 akar kembar, dan nilai negatif menghasilkan pasangan konjugat kompleks yang ditulis a ± bi, karena akar kuadrat dari bilangan negatif bukan merupakan bilangan real.
Apa yang terjadi jika a dan b keduanya 0?
Jika a dan b keduanya 0, suku x³ dan x² hilang dan tersisa cx + d = 0, sebuah persamaan linear dengan satu akar tunggal x = -d / c (jika c tidak sama dengan 0). Jika a, b, dan c semuanya 0, persamaan menjadi d = 0: setiap x adalah solusi jika d bernilai 0, dan tidak ada x yang memenuhi jika d tidak bernilai 0.
Apa arti akar kembar atau akar ganda?
Akar kembar adalah nilai x di mana kurva menyentuh 0 tanpa memotong ke tanda lainnya, karena 2 (atau ketiga) akar persamaan berimpit pada titik tersebut. Kalkulator memberi label "akar ganda" atau "akar tripel" alih-alih mencantumkan angka yang sama lebih dari sekali.