Kalkulator faktorial
Nilai n! eksak untuk bilangan bulat hingga 1.000, serta permutasi dan kombinasi, dihitung dengan aritmetika bilangan bulat eksak.
Hasil faktorial
10!
-
Tabel referensi faktorial
| n | n! |
|---|
Permutasi dan kombinasi
Permutasi menghitung susunan berurutan dari r item dalam himpunan n; kombinasi menghitung pemilihan tanpa urutan.
- PermutasinPr = n! / (n - r)!
- -
- KombinasinCr = n! / (r! (n - r)!)
- -
Cara kerja
Faktorial dari bilangan bulat non-negatif n, ditulis n!, adalah hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n, dengan 0! didefinisikan sebagai 1 menurut konvensi.
- Masukkan n
Bilangan bulat apa pun dari 0 hingga 1.000.
- Baca nilai eksak
Dihitung dengan aritmetika bilangan bulat eksak, tidak pernah dibulatkan.
- Coba permutasi atau kombinasi
Masukkan n dan r di bawah ini untuk menghitung susunan atau pemilihan.
Rumus faktorial
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
Sebagai contoh, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, dan 10! = 3.628.800. Faktorial tumbuh sangat cepat: 20! sudah melebihi 2 kuintiliun, dan 100! memiliki 158 digit.
Mengapa 0! sama dengan 1
0! didefinisikan sebagai 1 menurut konvensi. Hal ini menjaga rumus seperti kombinasi C(n, 0) = n! / (0! × n!) = 1 tetap bekerja dengan benar, karena hanya ada tepat satu cara untuk memilih tidak ada apa pun dari suatu himpunan. Hasil kali kosong, yaitu hasil kali tanpa faktor, bernilai 1 berdasarkan konvensi yang sama.
Permutasi dan kombinasi
Permutasi menghitung jumlah susunan berurutan dari r item yang dipilih dari n: nPr = n! / (n - r)!. Kombinasi menghitung pemilihan tanpa memperhatikan urutan: nCr = n! / (r! × (n - r)!). Sebagai contoh, memilih dan mengurutkan 3 pemenang medali dari 10 pelari adalah permutasi, 10P3 = 720, sedangkan sekadar memilih 3 finalis dari 10 tanpa mengurutkannya adalah kombinasi, 10C3 = 120.
Aritmetika eksak, tanpa pembulatan
Kalkulator ini menggunakan aritmetika bilangan bulat eksak, bukan bilangan titik mengambang, sehingga setiap digit hasil perhitungan benar bahkan untuk faktorial yang sangat besar, hingga n sama dengan 1.000, yang memiliki 2.568 digit. Kalkulator standar yang menggunakan bilangan biasa kehilangan presisi dan menampilkan Infinity setelah faktorial melebihi sekitar 1,8 × 10^308.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu faktorial dan bagaimana cara menghitungnya?
n! sama dengan n dikali (n-1) dikali (n-2) dan seterusnya hingga 2 dikali 1. Misalnya, 5! sama dengan 5 dikali 4 dikali 3 dikali 2 dikali 1, yaitu 120, dan 10! sama dengan 3.628.800. Faktorial tumbuh sangat cepat: 20! sudah melebihi 2 kuintiliun. Kalkulator ini mendukung hasil bilangan bulat eksak hingga 1.000! menggunakan aritmetika bilangan bulat eksak.
Mengapa 0! sama dengan 1?
0! sama dengan 1 berdasarkan definisi dan konvensi matematika. Hal ini memastikan bahwa rumus seperti kombinasi C(n, 0) sama dengan n! dibagi 0! kali n!, yang hasilnya 1, dapat berfungsi dengan benar, karena hanya ada tepat satu cara untuk tidak memilih apa pun dari suatu himpunan. Perkalian kosong, yaitu perkalian tanpa faktor, juga bernilai 1 menurut konvensi.
Berapa faktorial terbesar yang dapat dihitung oleh kalkulator ini?
Kalkulator ini menghitung hasil bilangan bulat eksak hingga 1.000!, yang memiliki 2.568 digit. Kalkulator ini menggunakan aritmetika bilangan bulat eksak, bukan bilangan titik mengambang biasa, sehingga tidak ada kehilangan presisi pada ukuran berapa pun dalam rentang tersebut, berbeda dengan kalkulator yang beralih ke Infinity setelah hasil melebihi sekitar 1,8 kali 10 pangkat 308.
Apa itu permutasi dan kombinasi, serta bagaimana keduanya menggunakan faktorial?
Permutasi, nPr, menghitung susunan terurut dari r item yang dipilih dari n dan sama dengan n! dibagi (n - r)!. Kombinasi, nCr, menghitung pemilihan tidak terurut dan sama dengan n! dibagi (r! dikalikan (n - r)!). Keduanya sering muncul dalam probabilitas dan statistika untuk menghitung berapa banyak cara item dapat disusun atau dipilih.
Di mana faktorial digunakan dalam matematika nyata?
Faktorial muncul dalam kombinatorika, termasuk permutasi dan kombinasi, dalam probabilitas, dalam ekspansi deret Taylor seperti e pangkat x sama dengan jumlah x pangkat n per n!, dan dalam statistika. Faktorial merupakan dasar untuk menghitung berapa banyak cara sekumpulan item dapat disusun atau dipilih.