Calculadora de MDC e MMC
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum para dois ou mais números, com fatoração em primos e o passo a passo exibido.
MDC e MMC
Máximo divisor comum (MDC)
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- Mínimo múltiplo comum (MMC)
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- Verificação
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Fatoração em primos
| Número | Fatores primos |
|---|
Como funciona
O MDC (máximo divisor comum) é o maior número inteiro que divide todos os números da sua lista sem deixar resto. O MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número inteiro pelo qual todos os números da sua lista são divisíveis exatamente.
- Digite os números
Dois ou mais números inteiros positivos, separados por vírgulas ou espaços.
- Veja o MDC e o MMC
Ambos são atualizados enquanto você digita, junto com uma verificação quando você insere exatamente dois números.
- Veja o passo a passo
Fatoração em primos para cada número e as etapas do algoritmo de Euclides para os dois primeiros.
O algoritmo de Euclides
A maneira mais rápida de encontrar um MDC manualmente substitui repetidamente o número maior pelo resto da divisão dele pelo menor, até que o resto seja 0. O último resto diferente de zero é o MDC.
mdc(a, b) = mdc(b, a mod b), parando quando o segundo valor for 0
Para 18 e 12: 18 = 1 × 12 + 6, depois 12 = 2 × 6 + 0, então mdc(18, 12) = 6. Para três ou mais números, a calculadora os combina dois a dois: mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c).
Obtendo o MMC a partir do MDC
Depois de obter o MDC, o MMC de dois números é obtido diretamente: mmc(a, b) = (a × b) / mdc(a, b). Para 12 e 18, mdc = 6, então mmc = (12 × 18) / 6 = 36. Para mais de dois números, a calculadora aplica a mesma regra em pares: mmc(a, b, c) = mmc(mmc(a, b), c).
Para que servem o MDC e o MMC
- Simplificação de frações: divida o numerador e o denominador pelo MDC deles. 12/18 tem MDC 6, então se simplifica para 2/3.
- Denominadores comuns: o MMC dos denominadores é o menor denominador comum ao somar ou comparar frações.
- Agendamento: se um evento se repete a cada 12 dias e outro a cada 18 dias, eles coincidirão novamente no dia mmc(12, 18) = 36.
- Ladrilhamento e empacotamento: o MDC indica o maior ladrilho quadrado que preenche uniformemente um retângulo de determinadas dimensões sem cortes.
Por que números negativos e zero não são aceitos
O MDC e o MMC são definidos apenas para números inteiros positivos no sentido usual usado na escola e em softwares: todo número deve dividir os próprios fatores do MDC, e 0 tem infinitos divisores, o que invalida a definição. Insira apenas números inteiros positivos.
Perguntas frequentes
O que é o MDC e como ele é calculado?
O MDC é o maior número que divide todos os números de um conjunto sem deixar resto. Para 12 e 18, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6, 12 e os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18, então o maior divisor comum é 6. O algoritmo de Euclides chega ao resultado mais rápido: mdc(18, 12) reduz-se a mdc(12, 6), depois mdc(6, 0), que é igual a 6.
Como o MMC é calculado a partir do MDC?
Para dois números a e b, mmc(a, b) = (a × b) / mdc(a, b). Para 12 e 18, mmc = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36. Para mais de dois números, a calculadora aplica isso iterativamente: mmc(a, b, c) = mmc(mmc(a, b), c). Ela aceita qualquer quantidade de entradas separadas por vírgula ou espaço.
Para que servem o MDC e o MMC na matemática do dia a dia?
O MDC simplifica frações: divida o numerador e o denominador pelo MDC(numerador, denominador). Para 12/18, o MDC é 6, então 12/18 = 2/3. O MMC encontra o menor denominador comum ao somar frações e o menor tempo em que dois eventos repetitivos coincidem novamente.
Por que a calculadora rejeita números negativos, zero e decimais?
MDC e MMC são definidos para números inteiros positivos. Uma entrada negativa, zero ou decimal não possui um MDC ou MMC bem definido no sentido usual, então a calculadora sinaliza o erro em vez de supor e informa exatamente quais entradas precisam ser corrigidas.
O que é fatoração em números primos e como a calculadora a utiliza?
A fatoração em números primos expressa um número como produto de potências de primos: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². O MDC usa a menor potência de cada primo comum: 2¹ × 3¹ = 6. O MMC usa a maior potência de cada primo envolvido: 2² × 3² = 36. A calculadora mostra a fatoração completa em primos para cada número que você digita.